chaotic elections我们想当然认为公平的制度,在逻辑推理面前不堪一击。投票理论的水也好深!

排序投票制
考虑一个简单的例子,假设选举有ABC三个候选人,选民对这三个人的内心偏好列如下:
2人认为A>B>C; 3人认为A>C>B; 2人认为C>B>A; 4人认为B>C>A
按照一票制,A得5票,B得4票,C得2票,A当选。
按照两票制(最优+次优),A得5票,B得8票,C得9票,C当选,原先票数最高的A反而垫底。
还有数学家J. Borda在法国大革命时期批评法兰西科学院选举制度时提出的Borda计票法。Borda认为如果每个人只投一票或者更多票不公平,他建议每個选民依照喜好排序候选人,在有三个候选人的情况下,每个人给心目中的最优者投两票,次优者投一票,第三名不投票。按照Borda计票法,结果会变成A得10票,B得12票,C得11票,最后当选的是B。

以上三者都可以看成排序投票制的特例,所谓排序投票制就是每个人给候选人在心中排好一个偏好次序,然后给每个次序上的人投一定票数。而数学家Donald G. Saari提出(暂没找到paper):

如果有n>3名候选人,可以使得在选民偏好不变的情况下,构造一个排序投票制让任何候选人都通过选择一个合适的排序投票制当选!

孔多塞制和孔多塞投票悖论
投票理论在法国大革命时期浮现成为学术界的一门研究领域,除了J. Borda外,还有另一位投票理论家孔多塞Condorcet,有意思的是他反对Borda计票法,他提出的是一种成双比对法,孔多塞制:将每个选项与所有其他的选项成对比较,一次一个,而击败所有其他选项的选项便是赢家。只要一个选项在大多数选票上的位置高于另一个选项,那么它便击败了那个选项。

当候选人n>2时,以投票的多数规则来确定社会或集体的选择可能产生循环的结果。假设有三个选举人对三个候选人倾向如下:A>B>C; B>C>A; C>A>B。多数人偏好A>B,多数也偏好B>C,按照逻辑上的一致性,这种偏好应当是可传递的transivity,即多数人偏好A>C。但实际正好相反,多数人偏好C>A。没有一个能够获得多数票而通过,这就是孔多塞投票悖论

投票制度的混沌性
考虑淘汰制的选举,假设选举有ABC三个候选人,选民对这三个人的内心偏好列如下:
35人认为A>C>B;33人认为B>A>C;32人认为C>B>A
可以有三种不同的选举顺序:
1. AB进行PK,A得到35票,B得到65票,B胜出。本来很想投C的人只能投给次优的B。然后BC进行PK,B只得到33票,C得到67票,C胜出。
2. AC进行PK,A得到68票,C得到32票,A胜出。然后AB进行PK,B胜出。
3. BC进行PK,B得到33票,C得到67票,C胜出。然后AC进行PK,A胜出。

所以在淘汰赛制中,选举制度最终结果和选举顺序不同,简单淘汰制度的选举容易被操纵,尤其是当选民的意向比较平均的时候,只要选举的顺序被精心安排,任一选手都有可能最后胜出!

同样是上文的例子,如果采用一票制,A得到35票,B得到33票,C得到32票,A胜出。假定排名最后的C突然退出选举,是否要因为退出一位排名最后的选举人进行重新选举?如果进行重新选举,则A得到35票,B得到65票,B反而胜出。

这个两例子反映出投票制度的混沌性,或者说结果对扰动的敏感依赖性:某一个次要竞争者的变化,也许会影响到重量级竞争者的崛起或者覆灭。一个类似但是复杂得多的例子是在2008年年初的民主党党内初选中,希拉里和奥巴马双雄鼎立,希拉里略占优势。而爱德华兹一直屈居第三,终于在“超级星期二”来临之前的1月底宣布退出竞争,他的退出很快打破了希拉里和奥巴马的平衡,部分地促成了奥巴马在超级星期二之后的十连胜,最终逼得希拉里退选。

Arrow不可能性定理
1972年诺贝尔经济学奖的获得者Kenneth Arrow在《社会选择与个人价值》中,考虑的是比选举更为细致的社会福利函数Social welfare function,给定一个集体中每个成员对候选人一组偏好顺序序列,那么一个“社会选择机制”能够在多好的程度上得到一个综合的排序,输出一个整合了各种意见的排序?

一个合理的选举制度,它必须满足一些条件:
1. 帕雷托最优
如果在每个人的排序中A都优于B,在输出结果中A也应当优于B。
2. 无关因素独立性
假设社会福利函数返回的排序中,A在B的前。但这时某些投票的人对A、B外的第三人C的看法变卦了,不应当影响到结果中A和B的相对排序,社会福利函数的结果A还是在B的前面。
3. 非独裁性
这个函数的输出意见不能总是等于同一个人的输入意见,不存在一个人的意见总是凌驾于所有人的意见之上。反过来,独裁性就是指社会福利函数最终返回的结果,恰好和某个投票人的个人意向完全相同,那么就说明那个人独裁了这一次的选举,“被独裁”的选民很有可能对独裁这件事并无兴趣或一无所知,就如鸽笼原理,只是恰好落到了他头上而已。

最后Arrow得出的结论是,只要有三个或更多的候选者,就不可能存在一个函数,或者说社会选择机制,同时满足帕雷托最优、无关候选人独立性以及非独裁性这三个条件。

三个条件里最苛刻的是其实是无关因素独立性,受制于投票机制的混沌特征,是非常难于满足的。所以不管是投票还是民主集中制,我们都不可能通过公共选择的方式获得一个所有人都认同的、逻辑一致的价值。

最后是一些参考:Arrow不可能性定理今天你想投票了吗社会选择理论