2008年北京大学自主招生数学考题

北大自主招生的数学考题就只有5道题,考生反映“巨难无比”,考完立马就郁闷了,哇啦哇啦地哭。我收集到的信息不多,得到的消息也没有一一去证实。我把这5道题大致写一下,题目描述可能不准确,但基本意思就是这样。

1. 证明:边长为1的正五边形的对角线长为(1+√5)/2

2. 已知一个六边形AB1CA1BC1,AB1=AC1,CB1=CA1,BA1=BC1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1。证明:三角形ABC面积为六边形的一半。

3. 某次球赛实行单循环赛制,规定赢一场得1分,输一场得0分。比赛队伍分为南方和北方,南方比北方多9支球队,且最后南方总分数是北方的9倍。求证:南方某支球队的得分最高。

4. 已知实数a1、a2、a3、b1、b2、b3满足:
a1+a2+a3 = b1+b2+b3, a1^2 + a2^2 + a3^2 = b1^2 + b2^2 + b3^2
且min{a1, a2, a3}≤min{b1, b2, b3}
证明:max{a1, a2, a3}≤max{b1, b2, b3}

5. 空间解析几何题,涉及到旋转体和光源。题目看了半天都不懂是啥意思,估计原题有附图。哪位有更准确的题目描述麻烦请在下面留言告诉我。

另据了解,清华的数学题题量较大,题目也稍微简单一些。有两道题非常有意思,我也一起写在这里。
证明:任意给定一个四面体,则至少存在一个顶点,使得过该顶点的三条棱可以构成一个三角形。
证明:以原点为对称中心、面积大于4的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点。

转自 http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=452

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